Teoría de conjuntos

La Teoría de conjuntos, es una importante rama de las matemáticas creada por el matemático alemán Georg Cantor, su estudio e importancia es fundamental en el estudio de la matemática, pilar fundamental del tema funciones entre otros.

Un conjunto es una colección de objetos distintos y no ordenados, (que podemos llamar elementos) y es considerado un objeto en sí mismo. Los conjuntos son considerados uno de los conceptos matemáticos más fundamentales. Aunque en realidad no el término no fue inventado hasta finales del siglo XIX, la teoría de conjuntos es parte ineludible en la matemática de hoy y puede ser usada como base para casi cualquier concepto matemático actual. Una de las herramientas principales para enseñar conjuntos son los diagramas de Venn más que nada por su utilidad visual.

Ejercicios:

Existen dos formas de describir un conjunto o especificar sus elementos. La primera es por comprensión, usando una regla o descripción que los defina:

A es el conjunto cuyos elementos son los primeros cuatro números positivos.

B es el conjunto de los colores de la bandera Francesa. 

La segunda por extensión, esto es una lista de cada uno de los elementos. Una definición por extensión aparecerá rodeando con llaves los elementos del conjunto.

C = { 4, 2, 1, 3 }

D = {azul, blanco, rojo}

Algunos detalles importantes son: cada elemento de un conjunto debe ser único, no puede haber dos idénticos y el orden de los mismos es irrelevante (a diferencia de las sucesiones o series) porque la definición por extensión sólo refiere al hecho de que cada elemento listado pertenece al conjunto. Para conjuntos con muchos elementos, esta notación puede ser abreviada usando puntos suspensivos ... Por ejemplo el conjunto de los primeros mil positivos sería { 1, 2, 3,..., 1000} donde los paréntesis indican que la lista continúa siguiendo el patrón obvio. También se usan puntos suspensivos cuando el conjunto tiene infinitos elementos lo que sería para el conjunto de números pares {2, 4, 6, 8, ...}. La notación con llaves también es usada para los conjuntos definidos por comprensión, en éste caso las llaves significan el conjunto de "todos..." aunque su desarrollo es un poco mas complejo. Por ejemplo el conjunto F de los 20 menores naturales son

F= {n ∈ N/ 0 < n < 21} 

En esta notación la barra / significa "tal que" (también se usa ":"). Cualquiera de las dos formas se pueden usar indistintamente; por ejemplo en los casos anteriores A=C y B=D

Permutación

Una permutación es una combinación ordenada.

Hay dos tipos de permutaciones:

Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".

Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.

Combinación

Es una la acción de juntar distintos factores sin aparente orden

Si el orden importa es Permutacion, si el orden no importa es Combinación. 

Ejercicios:

¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?

m = 5     n = 5

Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.

Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.

No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.

¿Qué es probabilidad?

Cálculo matemático de las posibilidades que existen de que una cosa se cumpla o suceda al azar

 

RECTA DE REGRESIÓN POR EL MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS

Método de cuadrados mínimos – Regresión lineal

Hemos enfatizado sobre la importancia de las representaciones gráficas y hemosvisto la utilidad de las versiones linealizadas de los gráficos (

 X, Y 

) junto a las distintasmaneras de llevar a cabo la linealización. A menudo nos confrontamos con situacionesen las que existe o suponemos que existe una relación lineal entre las variables: "X" e "Y"

Surge de modo natural la pregunta: ¿cuál es la relación analítica que mejor se ajusta nuestros datos? El método de cuadrados mínimos

es un procedimiento general que nos permite responder esta pregunta. Cuando la relación entre las variables X e Y es lineal,el método de ajuste por cuadrados mínimos se denomina también

método de regresión lineal.En este capítulo discutiremos este último caso. El lector puede consultar en elApéndice F de la Ref. [1] una discusión del caso general de cuadrados mínimos cuandoel modelo es no lineal y los datos están afectados de errores.La Fig. 1 ilustra el caso lineal. La dispersión de los valores está asociada a lafluctuación de los valores de cada variable. Observamos o suponemos una tendencialineal entre las variables y nos preguntamos sobre cuál es la

mejor recta:

        y( x) =a x+b

Métodos cuantitativos de análisis gráfico

Método de cuadrados mínimos – Regresión lineal

Hemos enfatizado sobre la importancia de las representaciones gráficas y hemos visto la utilidad de las versiones linealizadas de los gráficos ( X, Y) junto a las distintas maneras de llevar a cabo la linealización. A menudo nos confrontamos con situaciones en las que existe o suponemos que existe una relación lineal entre las variables X e Y.Surge de modo natural la pregunta: ¿cuál es la relación analítica que mejor se ajusta a nuestros datos? El método de cuadrados mínimos es un procedimiento general que nos permite responder esta pregunta. Cuando la relación entre las variables X e Y es lineal,el método de ajuste por cuadrados mínimos se denomina también método de regresión lineal.En este capítulo discutiremos este último caso. El lector puede consultar en el Apéndice F de la Ref. [1] una discusión del caso general de cuadrados mínimos cuando el modelo es no lineal y los datos están afectados de errores.. La dispersión de los valores está asociada a lafluctuación de los valores de cada variable. Observamos o suponemos una tendencialineal entre las variables y nos preguntamos sobre cuál es la

mejor recta:

 y( x) =a x+b

(1)que representa este caso de interés.Es útil definir la función

χ2(Chi-cuadrado)[1-3]:

∑     +⋅−=ibi xai y2)(2 χ(2)que es una medida de la desviación total de los valores observados

 Y i respecto de lospredichos por el modelo lineal

a x+b.

 Los mejores valores de la pendiente

A y laordenada al origen b son aquellos que minimizan esta desviación total, o sea, son losvalores que remplazados en la Ec.(1) minimizan la función χ 2, Ec.(2). Los parámetros a y b pueden obtenerse usando técnicas matemáticas que hacen uso del cálculo.

BLOQUE II

SESIÓN 1

Tablas tipo I:

Cuando el tamaño de la muestra y el recorrido de la variable son pequeños, por ejemplo si tenemos una muestra de las edades de 5 personas, por lo que no hay que hacer nada especial simplemente anotarlas de manera ordenada en filas o columnas

Edad de los 5 miembros de una familia:

5, 8, 16, 38, 45

Variable: "Edad de los 5 miembros de una familia"

Valores observados: 5, 8, 16, 38, 45

Tablas tipo II:

Personas Activas en 50 familias

Si preguntamos el número de personas activas que hay en 50 familias obtenemos la siguiente tabla:

2	1	2	2	1	2	4	2	1	1
2	3	2	1	1	1	3	4	1	4
2	2	1	2	1	1	1	3	2	3
3	2	3	1	2	4	2	1	3	2
1	3	4	3	2	2	2	1	4	1

Podemos observar que la variable toma valores comprendidos entre 1 y 4, por lo que precisaremos una tabla en la que resumamos estos datos quedando la siguiente tabla:

Personas Activas	Número de Familias
1	16
2	20
3	9
4	5
Total	50

Tablas tipo III:

Cuando el tamaño de la muestra y el recorrido de la variable son grandes, por lo que será necesario agrupar en intervalos los valores de la variable. Por ejemplo si a un grupo de 30 alumnos les preguntamos el dinero que en ese momento llevan encima, nos encontramos con los siguientes datos:

450	1152	250	300	175	80	25	2680	605	785	1595	2300	5000	1200	100
5	180	200	675	500	375	1500	205	985	185	125	315	425	560	1100

Una de las aplicaciones más sencillas de una tabla, se presenta cuando se describe el comportamiento de los datos de una variable categórica; el objetivo de este tipo de tablas es colocar en evidencia la frecuencia o recuento de cada una de las categorías, permitiendo hacer una comparación directa de los resultados; este tipo de tablas es conocido como tabla de frecuencias.

Para generar una tabla de frecuencias por medio del generador de tablas, se debe seleccionar la variable de interés en la lista de variables y manteniendo el boton del ratón oprimido, arrastrarla hasta la dimensión donde se quiera ubicar (Fila o Columna); al soltar el botón, la variable será agregada a la dimensión. A manera de ejemplo vamos a ingresar la variable Género, para lograrlo, debemos ubicarla en la lista de variables, seleccionarla haciendo clic sobre ella y manteniendo el botón del ratón oprimido, arrastrarla a la dimensión de las filas; después de soltarla obtendremos los resultados de la figura

Si nos fijamos en la vista Normal, notaremos como aparece en la tabla la etiqueta la variable (si no se define una etiqueta, aparecerá el nombre de la variable), seguida de las leyendas de las categorías y por último las casillas deresultados. Debemos notar que en las casillas del recuento de cada categoría aparecen los caracteres (n,n,n,n), esto se debe a que el visualizador genera una vista preliminar de la tabla que estamos creando, pero desde luego los cálculos de los estadísticos sólo se realizarán después de hacer clic en Aceptar. Por defecto el programa genera el recuento para las variables categóricas y si se desea ingresar otro estadístico es necesario realizarlo mediante la secciónDefinir.

Una vez se han definido los componentes, basta con hacer clic en Aceptar con lo que la tabla es producida en el visor de resultados. Por defecto elprograma no incluye ningún tipo de información que no sea definida en elgenerador de tablas como títulos, notas al pie, etc. Si nos fijamos en losresultados notaremos que la tabla cuenta con las mismas características que se generaron en la vista preliminar, con la diferencia que ahora si se muestran losresultados de los estadísticos. Para facilitar la interpretación de cada uno de los elementos de la tabla, hemos anexado algunas leyendas informativas, con el fin de resaltar los componentes.

SESIÓN 2

Variable cualitativa ordinal o variable cuantitativa

Las variables cualitativas se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números. Podemos distinguir dos tipos:

Variable cualitativa nominal

Una variable cualitativa nominal presenta modalidades no numéricas que no admiten un criterio de orden. Por ejemplo:

El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado, divorciado y viudo.

Una variable cualitativa ordinal presenta modalidades no numéricas, en las que existe un orden

CARACTERÍSTICAS VARIABLES CUANTITATIVAS

Diferencias entre investigación cualitativa y cuantitativa
Investigación cualitativa	Investigación cuantitativa
Centrada en la fenomenología y comprensión	Basada en la inducción probabilística del positivismo lógico
Observación naturista sin control	Medición penetrante y controlada
Subjetiva	Objetiva
Inferencias de sus datos	Inferencias más allá de los datos
Exploratoria, inductiva y descriptiva	Confirmatoria, inferencial, deductiva
Orientada al proceso	Orientada al resultado
Datos "ricos y profundos"	Datos "sólidos y repetibles"
No generalizable	Generalizable
Holista	Particularista
Realidad dinámica	Realidad estática

Estadistica

DEFINICIONES

"Ciencia que se ocupa del estudio de fenómenos de tipo genérico, normalmente complejos y enmarcados en un universo variable, mediante el empleo de modelos de reducción de la información y de análisis de validación de los resultados en términos de representatividad. La información puede ser numérica, alfabética o simbólica. Consta de las fases de recogida de información, de análisis y de presentación e interpretación de los resultados y elaboración de métodos”.

Sánchez- Crespo, G., (2002)

“La Estadística es una gran rama de la matemática que se utiliza para describir, analizar e interpretar ciertas características de un conjunto de individuos llamado población”

Zylberberg, A., (2006)

Kendall y Buckland

Definen la estadística como un valor resumido, calculado, como base en una muestra de observaciones que generalmente, aunque no por necesidad, se considera como una estimación de parámetro de determinada población; es decir, una función de valores de muestra.

La estadística estudia los métodos científicos para recoger, organizar, resumir y analizar datos, así como para sacar conclusiones válidas y tomar decisiones razonables basadas en tal análisis.

CONCEPTOS BASICOS

Población: Es un conjunto de medidas o el recuentro de todos los elementos que presentan una característica común. El término población se usa para denotar el conjunto de elementos del cual se extrae la muestra.

Muestra:una muestra es un conjunto representativo de la población de referencia, el número de individuos de una muestra es menor que el de la población.

Estadística descriptiva:el objetivo de la estadística descriptiva, es la descripción de los datos y no la inferencia partiendo de los datos.

Estadística inferencial:Se dedica a la generación de los modelos, inferencias y predicciones asociadas a los fenómenos en cuestión teniendo en cuenta la aleatoriedad de las observaciones. Se usa para modelar patrones en los datos y extraer inferencias acerca de la población bajo estudio.

Datos estadisticos:Son números que pueden ser comparados, analizados e interpretados.

Tipos de variables:

La variable es una medida en un experimento, representada por una (x) o por una (y) que puede tomar un valor de un conjunto de valores.

Variable aleatoria: es la que toma al azar los probables resultados de un experimento.

Variable dependiente: es la que toma los valores correspondientes de un modelo matemático o que los toma debido a la influencia de otra variable independiente.

Variable continua: es la que puede tomar cualquier valor decimal, del intervalo de una recta, como consecuencia de una medición.

Variable discreta: es la que puede tomar, por conteo, cualquier valor.

Variable cuantitativa: es la que se expresa en cantidades, por ejemplo: 18.9, 3, 75.4, 98891, etc.

Variable cualitativa: es la que se manifiesta en atributos, como pueden ser, bueno, malo, peor, regular, aceptable, defectuoso, feo, bonito, etc.

Probabilidad:Cálculo matemático de las posibilidades que existen de que una cosa se cumpla o suceda al azar.

Fenómeno: Es el aspecto que las cosas ofrecen ante nuestros sentidos; es decir, el primer contacto que tenemos con las cosas, lo que denominamos experiencia. La misma palabra hace pensar que detrás del fenómeno puede existir una estructura no perceptible directamente, el filósofo Immanuel Kant lo llamó noúmeno. Hay una acepción que deriva de la frase "Eres un fenómeno" como sustitutivo de "cosa única", "inigualable", "nunca visto".

Fenómeno aleatorio: Es un evento que al ocurrir puedes obtener resultados distintos.

Fenómeno determinista: Es un evento que da lugar a un resultado cierto o seguro, es decir que cuando partiendo de unas mismas condiciones iniciales tenemos la certeza de lo que va a suceder.

Población Finita: Es mediable, es aquella que indica que es posible alcanzarse o sobrepasace al contar, y que posee o incluye un numero limitado de medidas y observaciones: por ejemplo el numero de alumnos de un salón de clases.

Población Infinita: imposible de medir, es infinita si incluye un gran conjunto de medidas y observaciones que no pueden alcanzarse en el conteo , son infinitas porque hipoteticamente no existen limites en cuanto al numero de observaciones que cada uno de ellos puede generar; por ejemplo algun producto en el mercado, son tantos y de tantas variedades que es imposible tener absoluto registro de todos.

RELACION ENTRE METODO CIENTIFICO Y METODO ESTADISTICO

“La Estadística dentro del método Científico”

La estadística no se puede utilizar como una caja mágica para extraer certezas, donde se introducen datos y se extraen leyes. La estadística, en el contexto de probabilidades y técnicas de inferencia, es incapaz por sí misma de suplantar al Método Científico, sólo es un gran apoyo.

¿Cómo ayuda la estadística en el Método Científico?

Definimos el Método Científico como un método o conjunto sistematizado de procesos en los que se basa la ciencia para explicar cualquier fenómeno y las leyes que los administran.

En la siguiente imagen os muestro, muy esquematizado, el proceso que se sigue al aplicar el Método Científico.

La estadística descriptiva es la herramienta más útil en la etapa de observación, ya que nos permite extraer información para realizar nuestras hipótesis fundadas en estos resultados. También es utilizada para valorar los resultados del experimento.

La estadística analítica se utiliza a partir de la observación, ya que dependiendo de los datos observados, se utilizará una técnica u otra, y por supuesto en el proceso del experimento, ya que su diseño dependerá en cierta medida de las técnicas estadísticas más apropiadas, además, la estadística analítica es el primer y principal razonamiento válido.

Como vemos, la estadística proporciona un gran apoyo al Método Científico en las fases de observación y experimentación, pero en el proceso de hipótesis y en el de la obtención de una ley científica son otras las bases.

EL ROL DE LA ESTADÍSTICA EN LA APLICACIÓN DEL MÉTODO CIENTÍFICO

La ciencia juega hoy en día, un rol muy importante en la vida de los seres humanos, pues buena parte del secreto de la ciencia reside en la utilización del método científico.

Como instrumento esencial que poseen los investigadores para realizar experimentos, interpretar resultados e integrarlos con los conocimientos que se construye a partir de miles de experimentos individuales.

Actualmente, la estadística empieza su avance en el terreno de la aplicación del método científico, cuando esta (la estadística) ya no se limita a recopilar, contar y a veces clasificar los datos, como se inicio en una primera época, sino que trata también de ampliarse a través del campo del análisis e interpretación de los mismos.

La palabra ESTADÍSTICA, de acuerdo a un estudio realizado por José Mayor Gallego, “tiene diversas acepciones o significados, que aunque relacionados pueden confundirse, produciendo una impresión errónea de lo que realmente es y pretende la ciencia o disciplina denominada: Estadística.

Así, podemos encontrar en los medios de comunicación usuales, datos sobre las estadísticas del paro, estadísticas de accidentes de circulación o estadísticas de precios”.

Por ello, con el fin de apreciar el significado real de esta disciplina, definimos a la Estadística como la ciencia de los datos y al método científico como un conjunto de principios y procedimientos para la búsqueda sistemática del conocimiento.

Razón por la cual, la unión de estos dos campos se convierte en “la ciencia de la recolección y análisis de datos para la toma de decisiones”.

LA ESTADÍSTICA Y SU RELACIÓN CON:

LAS CIENCIAS NATURALES:

La estadística es comúnmente considerada como una colección de hechos numéricos expresados en términos de una relación sumisa, y que han sido recopilados a partir de otros datos numéricos.

CIENCIAS SOCIALES Y ECONÓMICAS, SOCIOLOGÍA Y 

DEMOGRAFÍA

* En las ciencias sociales y económicas: es un pilar básico del desarrollo de la demografía y la sociología aplicada.

* En economía: suministra los valores que ayudan a descubrir interrelaciones entre múltiples parámetros macro y micro económicos.

CON LA INFORMATICA

Suele ser bastante común que los estudiantes se cuestionen por qué determinada asignatura está incluida en su plan de estudios. Esto ocurre con frecuencia entre los alumnos de informática respecto de la asignatura de estadística. Las líneas siguientes tratan de aclarar, en parte, la cuestión.