Teoría de conjuntos
La Teoría de conjuntos, es una
importante rama de las matemáticas creada por el matemático alemán Georg
Cantor, su estudio e importancia es fundamental en el estudio de la matemática,
pilar fundamental del tema funciones entre otros.
Un conjunto es una colección de
objetos distintos y no ordenados, (que podemos llamar elementos) y es
considerado un objeto en sí mismo. Los conjuntos son considerados uno de los
conceptos matemáticos más fundamentales. Aunque en realidad no el término no
fue inventado hasta finales del siglo XIX, la teoría de conjuntos es parte
ineludible en la matemática de hoy y puede ser usada como base para casi
cualquier concepto matemático actual. Una de las herramientas principales para
enseñar conjuntos son los diagramas de Venn más que nada por su utilidad
visual.
Ejercicios:
Existen dos formas de describir un conjunto o especificar sus elementos.
La primera es por comprensión, usando una regla o descripción que los defina:
A es el conjunto
cuyos elementos son los primeros cuatro números positivos.
B es el conjunto de
los colores de la bandera Francesa.
La segunda por
extensión, esto es una lista de cada uno de los elementos. Una definición por
extensión aparecerá rodeando con llaves los elementos del conjunto.
C = { 4, 2, 1, 3 }
D = {azul, blanco,
rojo}
Algunos detalles
importantes son: cada elemento de un conjunto debe ser único, no puede haber
dos idénticos y el orden de los mismos es irrelevante (a diferencia de las
sucesiones o series) porque la definición por extensión sólo refiere al hecho de
que cada elemento listado pertenece al conjunto. Para conjuntos con muchos
elementos, esta notación puede ser abreviada usando puntos suspensivos ... Por
ejemplo el conjunto de los primeros mil positivos sería { 1, 2, 3,..., 1000}
donde los paréntesis indican que la lista continúa siguiendo el patrón obvio.
También se usan puntos suspensivos cuando el conjunto tiene infinitos elementos
lo que sería para el conjunto de números pares {2, 4, 6, 8, ...}. La notación
con llaves también es usada para los conjuntos definidos por comprensión, en
éste caso las llaves significan el conjunto de "todos..." aunque su
desarrollo es un poco mas complejo. Por ejemplo el conjunto F de los 20 menores
naturales son
F= {n ∈ N/ 0 < n < 21}
En esta notación la
barra / significa "tal que" (también se usa ":").
Cualquiera de las dos formas se pueden usar indistintamente; por ejemplo en los
casos anteriores A=C y B=D
Permutación
Una
permutación es una combinación ordenada.
Hay
dos tipos de permutaciones:
Se
permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".
Sin
repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar
primero y segundo a la vez.
Combinación
Es una la acción de juntar distintos factores sin aparente orden
Si el orden importa es Permutacion, si el orden no importa es Combinación.
Ejercicios:
¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?
m = 5 n = 5
Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.
La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.
¿Qué es probabilidad?
Cálculo matemático de las posibilidades que existen de que una cosa se cumpla o suceda al azar
